English
Let I be a linearly ordered index set with a well-founded order, and let C be a closed family of booleans with o above it. For any x in the C0 portion, the projection to the initial segment determined by o leaves x unchanged.
Русский
Пусть I — линейно упорядченный индексный множество с хорошо-почитаемым порядком, C — замкнутая коллекция булевых функций, и пр. Пусть x принадлежит C0. Тогда проекция на начальный отрезок, задаваемый o, сохраняет x неизменным.
LaTeX
$$$ x \\in C_0 C ho \\Rightarrow \\mathrm{Proj}(\\operatorname{ord} I \\cdot < o)\\, x = x $$$
Lean4
theorem C0_projOrd {x : I → Bool} (hx : x ∈ C0 C ho) : Proj (ord I · < o) x = x :=
by
ext i
simp only [Proj, ite_eq_left_iff, not_lt]
intro hi
rcases hi.lt_or_eq with hi | hi
· specialize hsC x hx.1 i
rw [← not_imp_not] at hsC
simp only [not_lt, Bool.not_eq_true, Order.succ_le_iff] at hsC
exact (hsC hi).symm
· simp only [C0, Set.mem_inter_iff, Set.mem_setOf_eq] at hx
rw [eq_comm, ord_term ho] at hi
rw [← hx.2, hi]
