span_nil_eq_top — Mathlib

English

Re-states span_nil_eq_top in another form: the image of singleton false over nil spans the top.

Русский

Утверждается снова: образ единичного false над nil порождает верхнюю подсистему.

LaTeX

$$$$\\mathrm{span\\_nil\\_eq\\_top}$$$$

Lean4

theorem span_nil_eq_top {I} [LinearOrder I] :
    Submodule.span ℤ (eval ({fun _ ↦ false} : Set (I → Bool)) '' { nil }) = ⊤ :=
  by
  rw [Set.image_singleton, eq_top_iff]
  intro f _
  rw [Submodule.mem_span_singleton]
  refine ⟨f default, ?_⟩
  simp only [eval, List.map, List.prod_nil, zsmul_eq_mul, mul_one, Products.nil]
  ext x
  obtain rfl : x = default := by simp only [Set.default_coe_singleton, eq_iff_true_of_subsingleton]
  rfl

Похожие утверждения