English
For a continuous map f: X → Y, there is a functor Opens(Y) → Opens(X) sending an open subset U ⊆ Y to its preimage f^{-1}(U) ⊆ X, with the action on inclusions given by preimage inclusion.
Русский
Для непрерывного отображения f: X → Y существует перестановка Opens(Y) → Opens(X), отправляющая открытое множество U ⊆ Y в его прообраз f^{-1}(U) ⊆ X; отображение на инклюзиях задаётся соответствующими прообразными включениями.
LaTeX
$$$\\mathrm{map}_f: \\mathrm{Opens}(Y) \\to \\mathrm{Opens}(X),\\quad U \\mapsto f^{-1}(U),\\quad i \\mapsto f^{-1}(i)$$$
Lean4
/-- `Opens.map f` gives the functor from open sets in Y to open set in X,
given by taking preimages under f. -/
def map (f : X ⟶ Y) : Opens Y ⥤ Opens X
where
obj U := ⟨f ⁻¹' (U : Set Y), U.isOpen.preimage f.hom.continuous⟩
map i := ⟨⟨fun _ h => i.le h⟩⟩
