isClopen_iff_frontier_eq_empty — Mathlib

English

A set is clopen iff its frontier is empty.

Русский

Множество является клозым и клипом тогда, когда его граница пуста.

LaTeX

$$$IsClopen(s)\iff frontier(s)=\emptyset$$$

Lean4

theorem isClopen_iff_frontier_eq_empty : IsClopen s ↔ frontier s = ∅ :=
  by
  rw [IsClopen, ← closure_eq_iff_isClosed, ← interior_eq_iff_isOpen, frontier, diff_eq_empty]
  refine ⟨fun h => (h.1.trans h.2.symm).subset, fun h => ?_⟩
  exact ⟨(h.trans interior_subset).antisymm subset_closure, interior_subset.antisymm (subset_closure.trans h)⟩

Похожие утверждения