English
A module P is projective iff there exists a linear map s: P →ₗ[R] P →₀ R such that the canonical linear combination map composed with s is the identity on P; equivalently, P is a direct summand of a free module.
Русский
Модуль P проектен тогда и только тогда, когда существует линейное отображение s: P →ₗ[R] P →₀ R such that каноническое отображение линейной комбинации линейно сопоставимо с Identity на P; эквивалентно, P является прямым дополнением свободного модуля.
LaTeX
$$$$ \\exists s: P \\to P \\to_0 R,\; (\\text{linearCombination } R\\ id) \\circ s = \\mathrm{id}_P. $$$$
Lean4
theorem projective_def : Projective R P ↔ ∃ s : P →ₗ[R] P →₀ R, Function.LeftInverse (linearCombination R id) s :=
⟨fun h => h.1, fun h => ⟨h⟩⟩
