isClosed_iff_nhds — Mathlib

English

A set s is closed iff for every point x, whenever every neighborhood of x meets s, then x belongs to s.

Русский

Множество s замкнуто тогда и только тогда, когда каждый x имеет свойNeighborhood, удовлетворяющий условию: если для каждого окрестности x пересечение с s непусто, то x ∈ s.

LaTeX

$$$ IsClosed\\,s \\iff \\forall x, \\big(\\forall U\\in \\mathcal{N}(x), (U \\cap s) \\neq \\emptyset \\big) \\to x \\in s $$$

Lean4

theorem isClosed_iff_nhds : IsClosed s ↔ ∀ x, (∀ U ∈ 𝓝 x, (U ∩ s).Nonempty) → x ∈ s := by
  simp_rw [isClosed_iff_clusterPt, ClusterPt, inf_principal_neBot_iff]

Похожие утверждения