iff_split_of_projective — Mathlib

English

A quotient of a projective module is projective iff the quotient splits as a direct summand.

Русский

Кусочно делимый модуль проективен тогда и только тогда, когда его фактор-модуль является прямым дополнением.

LaTeX

$$$$ \\text{If } s: M \\to P \\text{ surjective, then } P \\text{ is projective } \\iff \\exists i: P \\to M, \\ s \\circ i = \\mathrm{id}_P. $$$$

Lean4

/-- A quotient of a projective module is projective iff it is a direct summand. -/
theorem iff_split_of_projective [Module.Projective R M] (s : M →ₗ[R] P) (hs : Function.Surjective s) :
    Module.Projective R P ↔ ∃ i, s ∘ₗ i = LinearMap.id :=
  ⟨fun _ ↦ projective_lifting_property _ _ hs, fun ⟨i, H⟩ ↦ Projective.of_split i s H⟩

Похожие утверждения