instCompactSpaceSigmaOfFinite — Mathlib

English

If ι is finite and each X_i is compact, then the sigma-product over ι of the X_i is compact.

Русский

Если индексный набор ι конечен, и каждый X_i компактен, то sigma-производное множество по ι компактно.

LaTeX

$$$\text{Finite}(ι) \land \forall i, \IsCompact(X_i) \Rightarrow \IsCompact(\Sigma_i X_i) $$$

Lean4

instance {X : ι → Type*} [Finite ι] [∀ i, TopologicalSpace (X i)] [∀ i, CompactSpace (X i)] : CompactSpace (Σ i, X i) :=
  by
  refine ⟨?_⟩
  rw [Sigma.univ]
  exact isCompact_iUnion fun i => isCompact_range continuous_sigmaMk

Похожие утверждения