English
Let the commutative diagram of modules with exact rows be as in the Snake Lemma, with f2 surjective (having a set-theoretic section) and g1 injective (with a retraction), and π1 surjective. Then there exists a canonical connecting morphism δ: K3 → C1 such that the two-term complex K3 → C1 → C2 is exact, i.e. im δ = ker G. Moreover, δ is characterized by the property that δ(x) = π1(z) whenever x ∈ K3 is accompanied by y ∈ M2 and z ∈ N1 with f2(y) = ι3(x) and g1(z) = i2(y).
Русский
Пусть дан некорректируемый диаграмма модулей с точными рядами в ленте змейки; если f2 сюръективен (存在 дизъюнктный секционный отображение) и g1 инъективен (с обратным отображением), а π1 сюръективен, то существует каноническое соединяющее отображение δ: K3 → C1 так, что последовательность K3 → C1 → C2 точна, т.е. Im δ = Ker G. Более того, δ определяется по свойству: если существуют y и z с f2(y) = ι3(x) и g1(z) = i2(y), то δ(x) = π1(z).
LaTeX
$$$\forall x\in K_3\,\forall y\in M_2\,\forall z\in N_1\; (f_2(y)=\iota_3(x)\land g_1(z)=i_2(y))\Rightarrow \delta(x)=\pi_1(z).$$$
Lean4
theorem δ_eq (x : K₃) (y) (hy : f₂ y = ι₃ x) (z) (hz : g₁ z = i₂ y) :
δ i₁ i₂ i₃ f₁ f₂ hf g₁ g₂ hg h₁ h₂ σ hσ ρ hρ ι₃ hι₃ π₁ hπ₁ x = π₁ z :=
eq_of_eq i₁ i₂ f₁ f₂ hf g₁ h₁ ρ hρ ι₃ π₁ hπ₁ x _ (congr_fun hσ _) _ (δ_aux i₂ i₃ f₂ g₁ g₂ hg h₂ σ hσ ρ hρ ι₃ hι₃ _) y
hy z hz
