English
The iUnion of connected sets indexed by a type with an archimedean successor is connected when successive intersections meet.
Русский
iUnion сопряжённых множеств индексирован по типу сarch successor, если последовательные пересечения встречаются — связно.
LaTeX
$$$$ \\forall \\text{α},\\, {s_n},\\ IsConnected(s_n) \\Rightarrow \\forall n,(s_n \\cap s_{\\operatorname{succ} n}).Nonempty \\Rightarrow \\operatorname{IsConnected}(\\bigcup_n s_n). $$$$
Lean4
theorem iUnion_of_reflTransGen {ι : Type*} [Nonempty ι] {s : ι → Set α} (H : ∀ i, IsConnected (s i))
(K : ∀ i j, ReflTransGen (fun i j : ι => (s i ∩ s j).Nonempty) i j) : IsConnected (⋃ n, s n) :=
⟨nonempty_iUnion.2 <| Nonempty.elim ‹_› fun i : ι => ⟨i, (H _).nonempty⟩,
IsPreconnected.iUnion_of_reflTransGen (fun i => (H i).isPreconnected) K⟩
