English
Let G: β → γ be Lipschitz with constant C. Then the map f ↦ (a ↦ G(f(a))) is Lipschitz with constant C on the space of bounded continuous maps α →ᵇ β.
Русский
Пусть G: β → γ имеет Lip-шивицу с константой C. Тогда отображение f ↦ (a ↦ G(f(a))) является Lip-шивицей с константой C на пространстве ограниченно непрерывных отображений α →ᵇ β.
LaTeX
$$$\\operatorname{dist}\\big((f\\,\\text{comp } G\\, H), (g\\,\\text{comp } G\\, H)\\big) \\le C \\cdot \\operatorname{dist}(f,g)$$$
Lean4
/-- The composition operator (in the target) with a Lipschitz map is Lipschitz. -/
theorem lipschitz_comp {G : β → γ} {C : ℝ≥0} (H : LipschitzWith C G) : LipschitzWith C (comp G H : (α →ᵇ β) → α →ᵇ γ) :=
LipschitzWith.of_dist_le_mul fun f g =>
(dist_le (mul_nonneg C.2 dist_nonneg)).2 fun x =>
calc
dist (G (f x)) (G (g x)) ≤ C * dist (f x) (g x) := H.dist_le_mul _ _
_ ≤ C * dist f g := by gcongr; apply dist_coe_le_dist
