instSMul' — Mathlib

English

There is a natural SMul' structure on α →ᵇ 𝕜 given by pointwise scalar multiplication, compatible with the existing module structure.

Русский

Существует естественное умножение на пространство α →ᵇ 𝕜, заданное покоординатно, совместимое с существующей модульной структурой.

LaTeX

$$$\\text{SMul}'(α \\to^b 𝕜, α \\to^b β)$ with pointwise definition$$

Lean4

instance instSMul' : SMul (α →ᵇ 𝕜) (α →ᵇ β) where
  smul f
    g :=
    ofNormedAddCommGroup (fun x => f x • g x) (f.continuous.smul g.continuous) (‖f‖ * ‖g‖) fun x =>
      calc
        ‖f x • g x‖ ≤ ‖f x‖ * ‖g x‖ := norm_smul_le _ _
        _ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ := mul_le_mul (f.norm_coe_le_norm _) (g.norm_coe_le_norm _) (norm_nonneg _) (norm_nonneg _)

Похожие утверждения