English
Let X be a topological space and 𝕜 a field with appropriate structure. For every open subset s of X, the set associated to the ideal of C(X, 𝕜) vanishing outside s equals s; that is, the correspondence between open subsets of X and certain ideals in C(X, 𝕜) identifies the open set with the effective support of functions in the corresponding ideal.
Русский
Пусть X — топологическое пространство и 𝕜 — подходящее поле. Для каждого открытого подмножества s дизъюктивная связь устанавливает, что множество, соответствующее идеалу функций, обращённых нулём вне s, совпадает с s; тождение устанавливает явную взаимосвязь между открытыми множествами и соответствующими им идеалами.
LaTeX
$$$\\text{If } s \\subseteq X\\text{ is open, then } \\mathrm{setOfIdeal}(\\mathrm{idealOfSet}\\, 𝕜\, s) = s.$$$
Lean4
theorem setOfIdeal_ofSet_of_isOpen {s : Set X} (hs : IsOpen s) : setOfIdeal (idealOfSet 𝕜 s) = s :=
(setOfIdeal_ofSet_eq_interior 𝕜 s).trans hs.interior_eq
