homotopyGroupEquivFundamentalGroup

English

When N is empty, the 0-dimensional generalized loops at x are in bijection with X via a homeomorphism.

Русский

Когда N пусто, нулевой размер обобщённых петель в точке x естественно биективно соответствуют X через гомеоморфизм.

LaTeX

$$$\\text{genLoopHomeoOfIsEmpty}(X,N,x) : Ω^N X x \\cong_t X$ when $N$ is empty$$

Lean4

/-- Equivalence between the homotopy group of X and the fundamental group of
  `Ω^{j // j ≠ i} x`. -/
def homotopyGroupEquivFundamentalGroup (i : N) : HomotopyGroup N X x ≃ FundamentalGroup (Ω^ { j // j ≠ i } X x) const :=
  by
  refine Equiv.trans ?_ (CategoryTheory.Groupoid.isoEquivHom _ _).symm
  apply Quotient.congr (loopHomeo i).toEquiv
  exact fun p q => ⟨homotopicTo i, homotopicFrom i⟩

Похожие утверждения