English
If the sequence u is bounded and f is a nonempty filter, then liminf of the real parts equals the real part of the liminf.
Русский
Если последовательность ограничена и существует непустый фильтр, тогда liminf вещественных частей равно вещественной части liminf.
LaTeX
$$$\liminf_{i} (u_i)^{\mathrm{toReal}} = (\liminf_{i} u_i)^{\mathrm{toReal}}$$$
Lean4
theorem liminf_mul_le (h : limsup u f ≠ 0 ∨ liminf v f ≠ ∞) (h' : limsup u f ≠ ∞ ∨ liminf v f ≠ 0) :
liminf (u * v) f ≤ limsup u f * liminf v f :=
le_mul_of_forall_lt h h' fun a a_u b b_v ↦
(liminf_le_iff).2 fun c c_ab ↦
Frequently.mono (((frequently_lt_of_liminf_lt) b_v).and_eventually ((eventually_lt_of_limsup_lt) a_u))
fun _ ab_x ↦ (mul_lt_mul ab_x.2 ab_x.1).trans c_ab
