isEmbedding_iff_restrictPreimage — Mathlib

English

If f is a closed map, restricting its preimage preserves the closed-map property.

Русский

Если f замкнутое отображение, ограничение предобраза сохраняет свойство замкнутости отображения.

LaTeX

$$$IsClosedMap f \\rightarrow IsClosedMap (s.restrictPreimage f)$$$

Lean4

theorem isEmbedding_iff_restrictPreimage (h : Continuous f) :
    IsEmbedding f ↔ ∀ i, IsEmbedding ((U i).1.restrictPreimage f) := by
  simpa [isEmbedding_iff, forall_and] using
    and_congr (hU.isInducing_iff_restrictPreimage h) (injective_iff_injective_of_iUnion_eq_univ hU.iSup_set_eq_univ)

Похожие утверждения