set_smul_eq_of_le — Mathlib

English

A mirrored variant: if p ≤ s • N and the smul-closure condition holds, then p = s • N.

Русский

Зеркальная вариация: если p ≤ s • N и выполняется замыкание по смул, то p = s • N.

LaTeX

$$$p \\le s \\cdot N \\quad\\text{и}\quad \\text{закрыто по смул} \\Rightarrow p = s \\cdot N$$$

Lean4

theorem set_smul_eq_of_le (p : Submodule R M) (closed_under_smul : ∀ ⦃r : S⦄ ⦃n : M⦄, r ∈ s → n ∈ N → r • n ∈ p)
    (le : p ≤ s • N) : s • N = p :=
  le_antisymm (set_smul_le s N p closed_under_smul) le

Похожие утверждения