sup_set_smul — Mathlib

English

For a linear map f with surjective coefficient ring hom, the range equals the image of f applied to the top submodule, i.e., range f = map f ⊤.

Русский

Для линейного отображения f с сюръективным кольцевым гомом τ, образ равен изображению f от верхнего подмодуля: range f = map f ⊤.

LaTeX

$$$\operatorname{range} f = \operatorname{map} f \top$$$

Lean4

theorem sup_set_smul (s t : Set S) : (s ⊔ t) • N = s • N ⊔ t • N :=
  set_smul_eq_of_le _ _ _
    (by
      rintro _ _ (hr | hr) hn
      · exact Submodule.mem_sup_left (mem_set_smul_of_mem_mem hr hn)
      · exact Submodule.mem_sup_right (mem_set_smul_of_mem_mem hr hn))
    (sup_le (set_smul_mono_left _ le_sup_left) (set_smul_mono_left _ le_sup_right))

Похожие утверждения