ultrafilter_le_nhds_of_tendsto — Mathlib

English

If f is proper and a ultrafilter 𝒰 on X tends to y under f, then 𝒰 converges to some x with f x = y.

Русский

Если f пропорна и ультрафильтр 𝒰 на X сходится к y через f, то 𝒰 сходится к некоторому x с f x = y.

LaTeX

$$$IsProperMap(f) \Rightarrow \forall 𝒰\!\colon Ultrafilter X, \forall y, Tendsto f 𝒰 (nhds y) \Rightarrow \exists x, f(x)=y \land 𝒰 \le nhds x$$$

Lean4

/-- If `f` is proper and converges to `y` along some ultrafilter `𝒰`, then `𝒰` converges to some
`x` such that `f x = y`. -/
theorem ultrafilter_le_nhds_of_tendsto (h : IsProperMap f) ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄ (hy : Tendsto f 𝒰 (𝓝 y)) :
    ∃ x, f x = y ∧ 𝒰 ≤ 𝓝 x :=
  (isProperMap_iff_ultrafilter.mp h).2 hy

Похожие утверждения