English
For maps between metric spaces, uniform embedding is equivalent to having distortion both ways: small distances stay small after applying f, and conversely small after applying inverse relations implies small domain distance.
Русский
Для отображений между метрическими пространствами равносильно существованию ограничений и обратной связи: малые расстояния остаются малыми после применения f, и наоборот, если после применения обратных зависимостей расстояния малы, значит расстояния в исходном пространстве малы.
LaTeX
$$$ IsUniformEmbedding f \iff \Big( \forall \epsilon>0, \exists \delta>0,\forall a,b,\ dist(a,b)<\delta \Rightarrow dist(f a, f b)<\epsilon \Big) \land \Big( \forall \delta>0, \exists \epsilon>0,\forall a,b,\ dist(f a, f b)<\epsilon \Rightarrow dist(a,b)<\delta \Big)$$$
Lean4
instance (priority := 100) _root_.MetricSpace.instT0Space : T0Space γ where
t0 _ _ h := eq_of_dist_eq_zero <| Metric.inseparable_iff.1 h
