congruent_iff_pairwise_edist_eq — Mathlib

English

For any metric spaces α,β and isometry f: α → β, the induced map on completions is an isometry.

Русский

Для любых метрических пространств α,β и изометрии f: α → β получаемая отображение на завершениях является изометрией.

LaTeX

$$$\text{Isometry } (\mathrm{UniformSpace.Completion.map} f)$$$

Lean4

/-- Congruence holds if and only if all extended distances between points with different
indices are the same. -/
theorem congruent_iff_pairwise_edist_eq :
    Congruent v₁ v₂ ↔ Pairwise fun i₁ i₂ ↦ edist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = edist (v₂ i₁) (v₂ i₂) :=
  by
  refine ⟨fun h ↦ fun _ _ _ ↦ h _ _, fun h ↦ fun i₁ i₂ ↦ ?_⟩
  by_cases hi : i₁ = i₂
  · simp [hi]
  · exact h hi

Похожие утверждения