ker_eq_range_of_comp_eq_id — Mathlib

English

The additive subgroup range f corresponds to the AddSubmonoid range via conversion to an integer submodule.

Русский

Пусть образ f как аддитивная подгруппа эквивалентен AddSubmonoid range через перевод в целочисленный подмодуль.

LaTeX

$$$\operatorname{range} f$.toAddSubgroup = f.toAddMonoidHom.range$$

Lean4

theorem ker_eq_range_of_comp_eq_id {M P} [AddCommGroup M] [Module R M] [AddCommGroup P] [Module R P] {f : M →ₗ[R] P}
    {g : P →ₗ[R] M} (h : f ∘ₗ g = .id) : ker f = range (LinearMap.id - g ∘ₗ f) :=
  le_antisymm (fun x hx ↦ ⟨x, show x - g (f x) = x by rw [hx, map_zero, sub_zero]⟩) <|
    range_le_ker_iff.mpr <| by rw [comp_sub, comp_id, ← comp_assoc, h, id_comp, sub_self]

Похожие утверждения