preimage_mul_right_closedBall — Mathlib

English

If SMul actions are isometric on X and Y, then there is an isometric action of M×N on X×Y given by (m,n)•(x,y) = (m•x, n•y).

Русский

Если группы M и N действуют изометрически на X и Y, то существует изометрическое действие M×N на X×Y, выполняющее (m,n)•(x,y) = (m•x, n•y).

LaTeX

$$$\forall (m,n)\in M\times N,\quad d\big((m\cdot x_1, n\cdot y_1), (m\cdot x_2, n\cdot y_2)\big) = d\big((x_1,y_1), (x_2,y_2)\big)$$$

Lean4

@[to_additive (attr := simp)]
theorem preimage_mul_right_closedBall [IsIsometricSMul Gᵐᵒᵖ G] (a b : G) (r : ℝ) :
    (fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b / a) r :=
  by
  rw [div_eq_mul_inv]
  exact preimage_smul_closedBall (MulOpposite.op a) b r

Похожие утверждения