of_le_add_mul' — Mathlib

English

The embedding map is always a semi-contraction, i.e., Lipschitz with some NNReal constant.

Русский

Отображение вложения всегда полупрерывно по Липшицу, то есть липшицево с некотурным NNReal коэффициентом.

LaTeX

$$$\text{LipschitzWith } K f$ for some $K$ with $K=1$ in the coarse sense.$$

Lean4

/-- For functions to `ℝ`, it suffices to prove `f x ≤ f y + K * dist x y`; this version
doesn't assume `0≤K`. -/
protected theorem of_le_add_mul' {f : α → ℝ} (K : ℝ) (h : ∀ x y, f x ≤ f y + K * dist x y) :
    LipschitzWith (Real.toNNReal K) f :=
  have I : ∀ x y, f x - f y ≤ K * dist x y := fun x y => sub_le_iff_le_add'.2 (h x y)
  LipschitzWith.of_dist_le' fun x y => abs_sub_le_iff.2 ⟨I x y, dist_comm y x ▸ I y x⟩

Похожие утверждения