isOpen_singleton_iff_punctured_nhds

English

The singleton {x} is open iff the punctured neighborhood equals the bottom filter: 𝓝[≠] x = ⊥.

Русский

Множество {x} открыто тогда и только тогда, когда заштрихованное окрестность равно нижнему фильтру: 𝓝[≠] x = ⊥.

LaTeX

$$$\\text{IsOpen}({x}) \\iff 𝓝_{x}^{\\neq} = \\bot$$$

Lean4

theorem isOpen_singleton_iff_punctured_nhds (x : X) : IsOpen ({ x } : Set X) ↔ 𝓝[≠] x = ⊥ :=
  by
  rw [isOpen_singleton_iff_nhds_eq_pure, nhdsWithin, ← mem_iff_inf_principal_compl, le_antisymm_iff]
  simp [pure_le_nhds x]

Похожие утверждения