comp_antitone — Mathlib

English

Let op: a binary operation op with monotone in each argument. If f and g have local minima at a, then x ↦ op(f(x), g(x)) has a local minimum at a.

Русский

Пусть op – бинарная операция монотонна по каждому аргументу. Если f и g имеют локальные минимумы в a, то x ↦ op(f(x), g(x)) имеет локальный минимум в a.

LaTeX

$$$Hop:\; (\le) \Rightarrow (\le) \Rightarrow (\le)\ op\ op \; \land\ \mathrm{IsLocalMin}(f,a) \land \mathrm{IsLocalMin}(g,a) \Rightarrow \mathrm{IsLocalMin}(\lambda x. op(f(x), g(x)), a)$$$

Lean4

nonrec theorem comp_antitone (hf : IsLocalMax f a) {g : β → γ} (hg : Antitone g) : IsLocalMin (g ∘ f) a :=
  hf.comp_antitone hg

Похожие утверждения