English
Let α be a preorder with a topology making upper sets open. Then the topology is characterized by nhds at each point: a is closed under specialization iff 𝓝 a = 𝓟(Ici a). Thus the topology is exactly the upper-set topology.
Русский
Пусть α — предorder с топологией, в которой открыты верхние множества. Тогда топология характеризуется окрестностями в каждой точке: a специализируется на b тогда и только тогда, когда 𝓝 a = 𝓟(Ici a). Таким образом, топология совпадает с топологией верхних множеств.
LaTeX
$$$$ \\IsUpperSet(\\alpha) \\;\uparallels\\; \\forall a,\\; \\mathcal{N}(a) = \\mathcal{P}(\\mathrm{Ici}(a)). $$$$
Lean4
protected theorem _root_.Topology.isUpperSet_iff_nhds {α : Type*} [TopologicalSpace α] [Preorder α] :
Topology.IsUpperSet α ↔ (∀ a : α, 𝓝 a = 𝓟 (Ici a))
where
mp _ a := nhds_eq_principal_Ici a
mpr hα := ⟨by simp [TopologicalSpace.ext_iff_nhds, hα, nhds_eq_principal_Ici]⟩
