English
For any hx : x1 = x2 and hy : y1 = y2, the existence of a γ with property p is equivalent to the existence of a γ' with property p after casting: (∃ γ, p γ) ↔ (∃ γ, p (γ.cast hx hy)).
Русский
Для любых hx : x1 = x2 и hy : y1 = y2 существование γ с свойством p эквивалентно существованию γ' с свойством p после приведения: (∃ γ, p γ) ↔ (∃ γ, p (γ.cast hx hy)).
LaTeX
$$$\exists γ, p(\gamma) \Leftrightarrow \exists γ', p(\gamma'.cast hx hy))$$$
Lean4
@[congr]
theorem exists_congr {x₁ x₂ y₁ y₂ : X} {p : Path x₁ y₁ → Prop} (hx : x₁ = x₂) (hy : y₁ = y₂) :
(∃ γ, p γ) ↔ (∃ (γ : Path x₂ y₂), p (γ.cast hx hy)) :=
bijective_cast hx hy |>.surjective.exists
