English
Let f: X → Y be a function between topological spaces with Y equipped with a preorder. Then f is lower semicontinuous on the entire space X if and only if f is lower semicontinuous as a function.
Русский
Пусть f: X → Y — функция между топологическими пространствами и Y упорядчено так, що имеется предобратная несвязность. Тогда f является нижней полупрерывной на всём пространстве X тогда и только если она является нижней полупрерывной как отображение.
LaTeX
$$$\operatorname{LowerSemicontinuousOn}(f, \mathrm{univ}) \;\iff\; \operatorname{LowerSemicontinuous}(f)$$$
Lean4
theorem lowerSemicontinuousOn_univ_iff : LowerSemicontinuousOn f univ ↔ LowerSemicontinuous f := by
simp [LowerSemicontinuousOn, LowerSemicontinuous, lowerSemicontinuousWithinAt_univ_iff]
