isTopologicalBasis_isClopen — Mathlib

English

The family of clopen sets forms a topological basis in a compact, Hausdorff, totally disconnected space.

Русский

Слоь клипповых множеств образуют топологический базис в компакте, хаусдорфовом, полностью несвязном пространстве.

LaTeX

$$$\\text{isTopologicalBasis isClopen sets}$ under the stated assumptions.$$

Lean4

theorem isTopologicalBasis_isClopen : IsTopologicalBasis {s : Set X | IsClopen s} :=
  by
  apply isTopologicalBasis_of_isOpen_of_nhds fun U (hU : IsClopen U) => hU.2
  intro x U hxU U_op
  have : U ∈ 𝓝 x := IsOpen.mem_nhds U_op hxU
  rcases (nhds_basis_clopen x).mem_iff.mp this with ⟨V, ⟨hxV, hV⟩, hVU : V ⊆ U⟩
  use V
  tauto

Похожие утверждения