English
A sequentially continuous image of a sequentially compact set is sequentially compact: if f is SeqContinuous and K is IsSeqCompact, then f''K is IsSeqCompact.
Русский
Образ последовательной непрерывности последовательной компактности сохраняет последовательную компактность: если f — последовательная непрерывная, а K — последовательность компактного множества, то f''K — последовательность компактного множества.
LaTeX
$$$\forall X,Y [TopologicalSpace X] [TopologicalSpace Y] {f:X \to Y}, SeqContinuous f \to \forall K: Set X, IsSeqCompact K \to IsSeqCompact (f '' K).$$$
Lean4
theorem tendsto_subseq [CompactSpace X] (x : ℕ → X) :
∃ (a : _) (φ : ℕ → ℕ), StrictMono φ ∧ Tendsto (x ∘ φ) atTop (𝓝 a) :=
SeqCompactSpace.tendsto_subseq x
