English
If s is sequentially compact in a uniform space and a sequence u: N → X is frequently in s, and (u) is Cauchy, then there exists x ∈ s such that u converges to x along atTop.
Русский
Если s является последовательнос-но компактным в равномерном пространстве и последовательность u: N → X часто принадлежит s, а u является дубль-Цайех, то существует x ∈ s such that u → x вдоль atTop.
LaTeX
$$$\forall {X} [UniformSpace X] {s:Set X}, IsSeqCompact s → \forall {u: \mathbb{N} \to X}, Filter.Frequently (fun n => u(n) \in s) (atTop) → CauchySeq u → \Exists x \in s, \text{Tendsto } u atTop (nhds x).$$$
Lean4
theorem exists_tendsto_of_frequently_mem (hs : IsSeqCompact s) {u : ℕ → X} (hu : ∃ᶠ n in atTop, u n ∈ s)
(huc : CauchySeq u) : ∃ x ∈ s, Tendsto u atTop (𝓝 x) :=
let ⟨x, hxs, _φ, φ_mono, hx⟩ := hs.subseq_of_frequently_in hu
⟨x, hxs, tendsto_nhds_of_cauchySeq_of_subseq huc φ_mono.tendsto_atTop hx⟩
