English
If two ring homomorphisms agree on basis elements and on the embedding of R, they agree globally; a standard extensionality principle for monoid-algebra homomorphisms.
Русский
Если два гомоморфизма кольца совпадают на базисных элементах и на внедрении R, они совпадают повсюду; обычный принцип экстендирования для гомоморфизмов алгебры моноидов.
LaTeX
$$$f,g: R[M]\\to^* S$ satisfy $f|_{\\text{basis}}=g|_{\\text{basis}}$ and $f|_{R}=g|_{R} \\Rightarrow f=g$$$
Lean4
theorem sup_support_multiset_prod_le (degb0 : degb 0 ≤ 0) (degbm : ∀ a b, degb (a + b) ≤ degb a + degb b)
(m : Multiset R[A]) : m.prod.support.sup degb ≤ (m.map fun f : R[A] => f.support.sup degb).sum :=
by
induction m using Quot.inductionOn
rw [Multiset.quot_mk_to_coe'', Multiset.map_coe, Multiset.sum_coe, Multiset.prod_coe]
exact sup_support_list_prod_le degb0 degbm _
