id_iff_isOpen_and_isCompact — Mathlib

English

For S with a topology, the compact-open covering of a set U by the identity maps on Unit is equivalent to U being open and compact.

Русский

Для пространства S с топологией покрытие компактно-открытым образом единичного отображения эквивалентно тому, что U является открытым и компактным.

LaTeX

$$$IsCompactOpenCovered(\,\text{id})\;U \iff IsOpen U \wedge IsCompact U.$$$

Lean4

theorem id_iff_isOpen_and_isCompact [TopologicalSpace S] :
    IsCompactOpenCovered (fun _ : Unit ↦ id) U ↔ IsOpen U ∧ IsCompact U :=
  by
  rw [iff_of_unique]
  refine ⟨fun ⟨V, hV, heq⟩ ↦ ?_, fun ⟨ho, hc⟩ ↦ ⟨⟨U, ho⟩, hc, by simp⟩⟩
  simp only [id_eq, Set.image_id', carrier_eq_coe, ← heq] at heq ⊢
  exact ⟨V.2, hV⟩

Похожие утверждения