English
If α has a basis of compact opens indexed by ι, then an open set U is compact and open iff U is a finite union of some basis elements.
Русский
Пусть у α есть базис компактных открытых множеств, прindexed by ι. Тогда открытое множество U компактно и открыто тогда и только тогда, когда оно является конечной объединением некоторых элементов базиса.
LaTeX
$$$\forall i, IsCompact(b_i : Set α) \implies (IsCompact(U) \land IsOpen(U)) \iff \exists s \subseteq ι, s.finite \land U = \bigcup_{i\in s} b_i$$$
Lean4
theorem exists_finite_of_isCompact {B : Set (Opens α)} (hB : IsBasis B) {U : Opens α} (hU : IsCompact U.1) :
∃ Us ⊆ B, Us.Finite ∧ U = sSup Us := by
classical
obtain ⟨Us', hsub, hsup⟩ := isBasis_iff_cover.mp hB U
obtain ⟨t, ht⟩ := hU.elim_finite_subcover (fun s : Us' ↦ s.1) (fun s ↦ s.1.2) (by simp [hsup])
refine ⟨Finset.image Subtype.val t, subset_trans (by simp) hsub, Finset.finite_toSet _, ?_⟩
exact le_antisymm (subset_trans ht (by simp)) (le_trans (sSup_le_sSup (by simp)) hsup.ge)
