English
The preimage of an open set under a continuous map is open; this defines a frame homomorphism between opens of β and opens of α.
Русский
Образ предварения по непрерывному отображению открытого множества является открытым; это задаёт гомоморфизм рам между открытыми множестами β и α.
LaTeX
$$$f : C(\alpha,\beta) \Rightarrow \operatorname{FrameHom}(\operatorname{Opens}(\beta),\operatorname{Opens}(\alpha))$, $s \mapsto f^{-1}(s)$ открытое множество$$
Lean4
/-- The preimage of an open set, as an open set. -/
def comap (f : C(α, β)) : FrameHom (Opens β) (Opens α)
where
toFun s := ⟨f ⁻¹' s, s.2.preimage f.continuous⟩
map_sSup' s := ext <| by simp only [coe_sSup, preimage_iUnion, biUnion_image, coe_mk]
map_inf' _ _ := rfl
map_top' := rfl
