English
For a presheaf F on a topological space X, the sheaf condition is equivalent to the pairwise intersections formulation: F satisfies the usual sheaf condition if and only if it satisfies the limit (pullback) condition for all pairs of open sets U_i with U_i ∩ U_j. In other words, F is a sheaf on X exactly when F is a limit-preserving presheaf for the diagram formed by the U_i and their pairwise intersections.
Русский
Для преприсхема F на топологическом пространстве X условие её being sheaf эквивалентно формулировке через пересечения пары: он выполняет стандартное условие sheaf тогда и только тогда, когда он удовлетворяет предельному (pullback) условию для всех пар открытых U_i с их пересечением U_i ∩ U_j. Иными словами, F является онаферкой на X тогда и только тогда, когда F сохраняет предел диаграммы, состоящей из U_i и U_i ∩ U_j.
LaTeX
$$$F\\ IsSheaf \\iff F\\ IsSheafPairwiseIntersections$$$
Lean4
/-- The sheaf condition in terms of an equalizer diagram is equivalent
to the reformulation in terms of a limit diagram over `U i` and `U i ⊓ U j`.
-/
theorem isSheaf_iff_isSheafPairwiseIntersections : F.IsSheaf ↔ F.IsSheafPairwiseIntersections := by
rw [isSheaf_iff_isSheafOpensLeCover, isSheafOpensLeCover_iff_isSheafPairwiseIntersections]
