isSheaf_iff_isSheafPreservesLimitPairwiseIntersections

English

For a presheaf F on X, F is a sheaf if and only if F is isomorphic to the presheaf that preserves limits of the pairwise intersections diagram; equivalently, F is a sheaf iff it preserves those limits.

Русский

Для преп셜а F на X верно: F является sheaf тогда и только тогда, когда F сохраняет предел диаграммы попарных пересечений; эквивалентно, если F сохраняет эти пределы, то он является sheaf.

LaTeX

$$$F.IsSheaf \\iff F.IsSheafPreservesLimitPairwiseIntersections$$$

Lean4

/-- The sheaf condition in terms of an equalizer diagram is equivalent
to the reformulation in terms of the presheaf preserving the limit of the diagram
consisting of the `U i` and `U i ⊓ U j`.
-/
theorem isSheaf_iff_isSheafPreservesLimitPairwiseIntersections :
    F.IsSheaf ↔ F.IsSheafPreservesLimitPairwiseIntersections :=
  by
  refine
    ⟨fun h U ↦ h.isSheafPreservesLimitPairwiseIntersections, fun h ↦
      F.isSheaf_iff_isSheafPairwiseIntersections.mpr fun ι U ↦ ?_⟩
  haveI := h U
  exact ⟨isLimitOfPreserves _ (Pairwise.coconeIsColimit U).op⟩

Похожие утверждения