English
Let F be a family of functions indexed by ι: F: ι → β → α. If F is uniformly equicontinuous, then for any map u: κ → ι, the subfamily F ∘ u is uniformly equicontinuous.
Русский
Пусть F — семейство функций F: ι → β → α. Если F является равномерно эконтинуированным, то подсемейство F ∘ u, заданное отображением u: κ → ι, тоже равномерно эконтинуированно.
LaTeX
$$$\\text{If }F: \\iota \\to \\beta \\to \\alpha\\text{ is uniformly equicontinuous and }u: \\kappa \\to \\iota,\\text{ then }F \\circ u:\\kappa \\to \\beta \\to \\alpha\\text{ is uniformly equicontinuous.}$$$
Lean4
/-- Taking sub-families preserves uniform equicontinuity. -/
theorem comp {F : ι → β → α} (h : UniformEquicontinuous F) (u : κ → ι) : UniformEquicontinuous (F ∘ u) := fun U hU =>
(h U hU).mono fun _ H k => H (u k)
