isClosed_setOf_tendsto — Mathlib

English

Same principle as Tendsto closure statement, emphasizing the converse perspective to EquicontinuousAt.closure.

Русский

Та же идея, что и в высказывании о замыкании экконтинуальности, рассматривающая обратную связь с EquicontinuousAt.closure.

LaTeX

$$Уточнение формулировки для теоремы о замыкании$$

Lean4

/-- If `F : ι → X → α` is an equicontinuous family of functions,
`f : X → α` is a continuous function, and `l` is a filter on `ι`,
then `{x | Filter.Tendsto (F · x) l (𝓝 (f x))}` is a closed set. -/
theorem isClosed_setOf_tendsto {l : Filter ι} {F : ι → X → α} {f : X → α} (hF : Equicontinuous F) (hf : Continuous f) :
    IsClosed {x | Tendsto (F · x) l (𝓝 (f x))} :=
  closure_subset_iff_isClosed.mp fun x hx ↦
    (hF x).tendsto_of_mem_closure (hf.continuousAt.mono_left inf_le_left) (fun _ ↦ id) hx

Похожие утверждения