English
If s is open and F f p s holds, then locally uniform convergence on s is equivalent to pointwise convergence criteria with nhds x, namely for every x in s, the two-variable map converges to the uniformity along p and nhds x.
Русский
Пусть s открыто; тогда локальная равномерная сходимость на s эквивалентна локальной критериальной схеме в точке x: для каждого x ∈ s соответствие двух변ных отображений сводится к пределу вullie.
LaTeX
$$$$\IsOpen(s) \Rightarrow \operatorname{TendstoLocallyUniformlyOn}(F,f,p,s) \iff \forall x\in s,\ \operatorname{Tendsto}\Bigl((i,y) \mapsto (f(y), F(i,y))\Bigr)(p \times\mathcal{N}(x))\bigl(\mathcal{U}(\beta)\bigr).$$$$
Lean4
nonrec theorem tendstoLocallyUniformlyOn_iff_forall_tendsto (hs : IsOpen s) :
TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y : ι × α => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 β) :=
tendstoLocallyUniformlyOn_iff_forall_tendsto.trans <| forall₂_congr fun x hx => by rw [hs.nhdsWithin_eq hx]
