English
Every open cover of a closed interval [a,b] in R admits a monotone finite subdivision into subintervals, each contained in some cover member.
Русский
Каждое открытое покрытие замкнутого интервала [a,b] в R допускает конечную монотонную subdivision на подпериоды, каждая из которых содержится в каком‑либо элементе покрытия.
LaTeX
$$∃ t: ℕ → Icc a b, t0 = a, Monotone t, ∃ m, ∀ n ≥ m, t n = b ∧ ∀ n ∃ i, Icc (t n) (t (n+1)) ⊆ c i$$
Lean4
theorem addNSMul_eq_right [Archimedean α] (hδ : 0 < δ) : ∃ m, ∀ n ≥ m, addNSMul h δ n = b :=
by
obtain ⟨m, hm⟩ := Archimedean.arch (b - a) hδ
refine ⟨m, fun n hn ↦ ?_⟩
rw [addNSMul, coe_projIcc, add_comm, min_eq_left_iff.mpr, max_eq_right h]
exact sub_le_iff_le_add.mp (hm.trans <| nsmul_le_nsmul_left hδ.le hn)
