finprod_mem_pair — Mathlib

English

If e: α → β is a bijection and f,g: α → M satisfy f(x) = g(e(x)) for x ∈ α, then ∏_{i∈α} f(i) = ∏_{j∈β} g(j).

Русский

Если e: α → β — биекция и f(x) = g(e(x)) для всех x, то произведение по α равно произведению по β.

LaTeX

$$∃ e: α → β, e является биекция, ∀ x ∈ α, f(x) = g(e(x)) ⇒ ∏_{i∈α} f(i) = ∏_{j∈β} g(j)$$

Lean4

/-- The product of `f i` over `i ∈ {a, b}`, `a ≠ b`, is equal to `f a * f b`. -/
@[to_additive /-- The sum of `f i` over `i ∈ {a, b}`, `a ≠ b`, is equal to `f a + f b`. -/
    ]
theorem finprod_mem_pair (h : a ≠ b) : (∏ᶠ i ∈ ({ a, b } : Set α), f i) = f a * f b :=
  by
  rw [finprod_mem_insert, finprod_mem_singleton]
  exacts [h, finite_singleton b]

Похожие утверждения