English
Let R be a commutative semiring, A an additive monoid with an R-module structure, and f : σ → A. For any finitely supported exponent s ∈ σ →₀ ℕ and r ∈ R, the derivation mkDerivation applied to the monomial with exponent s and coefficient r is the R-linear combination of lower monomials obtained by subtracting 1 from the exponent of each variable i with weight s(i), scaled by f(i) and by r.
Русский
Пусть R - коммутативное полузамкнутое полустепени, A - аддитивная моноида с действием модуля над R, и f : σ → A. Для любого конечного по опору экспонента s ∈ σ →₀ ℕ и для любого r ∈ R линейное производное mkDerivation, применённое к мономиалу с степенью s и коэффициентом r, является линейной комбинацией меньших мономов, получаемой вычитанием единицы из показателя по каждому i с весом s(i), масштабированной f(i) и множителем r.
LaTeX
$$$ \\operatorname{mkDerivation}(R,f)(\\operatorname{monomial}(s)\\, r) = r \\cdot \\sum_{i \\in \\operatorname{supp}(s)} s(i) \\; \\operatorname{monomial}(s - \\delta_i) \\bigl(f(i)\\bigr)$$$
Lean4
theorem mkDerivation_monomial (f : σ → A) (s : σ →₀ ℕ) (r : R) :
mkDerivation R f (monomial s r) = r • s.sum fun i k => monomial (s - Finsupp.single i 1) (k : R) • f i :=
mkDerivationₗ_monomial f s r
