English
Let R and S1 be commutative semirings, σ a type, p a multivariate polynomial over R in σ. For any ring hom f: R →+* S1 and any function g: σ → S1, the evaluation of p after applying the coefficient map f is the same as the evaluation of p with respect to f and g chosen via the standard evaluation map. In symbols, eval_g (map_f p) = eval₂ f g p.
Русский
Пусть R и S1 — коммутативные полукисирамы, σ — множество индикаторов, p — многочлен над R в переменных σ. Для любой кольцо-однозначной гомоморфизмы f: R →+* S1 и любой функции g: σ → S1 верно равенство, заключающее сопоставление: eval_g (map_f p) = eval₂ f g p, то есть сначала применяем отображение коэффициентов к p, затем вычисляем, а иначе — сопоставляющее вычисление p с помощью f и g.
LaTeX
$$$\\\\mathrm{eval}_g(\\\\mathrm{map}_f p) = \\\\\\mathrm{eval}_2 f g p$$$
Lean4
@[simp]
theorem eval_map (f : R →+* S₁) (g : σ → S₁) (p : MvPolynomial σ R) : eval g (map f p) = eval₂ f g p := by
apply MvPolynomial.induction_on p <;> · simp +contextual
