English
For any finite set s of α, the finsum over s with a dependent family equals the nested finsums with indicator if a ∈ s: finprod over a of (if a ∈ s then f a h else 1).
Русский
Для конечного множества s по α выполняется равенство: finsum над a с зависимым иному равенству, индикация a ∈ s.
LaTeX
$$$ finprod_{a:\\alpha} (h a)\; = \\; finprod_{a:\\alpha} (if a \\in s then h a \\;\\text{else } 1) $$$
Lean4
@[to_additive]
theorem finprod_dmem {s : Set α} [DecidablePred (· ∈ s)] (f : ∀ a : α, a ∈ s → M) :
(∏ᶠ (a : α) (h : a ∈ s), f a h) = ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ s), if h' : a ∈ s then f a h' else 1 :=
finprod_congr fun _ => finprod_congr fun ha => (dif_pos ha).symm
