English
Let R be a commutative semiring and let σ, τ be index sets. For any function f: σ → τ there is a canonical R-algebra homomorphism rename_f: R[σ] → R[τ] which renames the variables according to f. In particular, the map fixes constants and sends each indeterminate X_i to X_{f(i)}.
Русский
Пусть R — коммутативная полупрямослойная полупринятие (коммутативная полиномиальная алгебра), σ, τ — множества индексов переменных. Для любой функции f: σ → τ существует каноническое R-алгебрное отображение rename_f: R[σ] → R[τ], которое переименовывает переменные по f. В частности, отображение фиксирует константы и переводит переменную X_i в X_{f(i)}.
LaTeX
$$$\\exists! \\phi: \\text{AlgHom}_R(\\mathrm{MvPolynomial}(\\sigma,R), \\mathrm{MvPolynomial}(\\tau,R)),\\quad \\phi(X_i) = X_{f(i)} \\text{ for all } i ∈ σ.$$$
Lean4
/-- Rename all the variables in a multivariable polynomial. -/
def rename (f : σ → τ) : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial τ R :=
aeval (X ∘ f)
