English
Let R be a commutative semiring, A a semiring, M an additive commutative monoid with both R- and A-module structures, and IsScalarTower(R,A,M) hold. If M is A-torsion-free and the map R → A is injective, then M is R-torsion-free. Equivalently, whenever r ∈ R and m ∈ M satisfy r · m = 0, we must have r = 0 or m = 0.
Русский
Пусть R — коммутативный полугоризонтально-цилиндрический полугруппа, A — полугруппа, M — аддитивная коммутативная моноида с структурой модуля над R и над A, такие что IsScalarTower(R,A,M) выполняется. Если M является A-тонсертофри и алгебраическое отображение R → A инъективно, то M является R-тонсертофри. Эквивалентно: если r ∈ R и m ∈ M удовлетворяют r · m = 0, то либо r = 0, либо m = 0.
LaTeX
$$$\\forall r\\in R\\,\\forall m\\in M:\\ r \\cdot m = 0 \\Rightarrow r = 0 \\lor m = 0,$\n \n $$
Lean4
/-- If `M` is `A`-torsion free and `algebraMap R A` is injective, `M` is also `R`-torsion free. -/
theorem trans_faithfulSMul (R A M : Type*) [CommSemiring R] [Semiring A] [Algebra R A] [FaithfulSMul R A]
[AddCommMonoid M] [Module R M] [Module A M] [IsScalarTower R A M] [NoZeroSMulDivisors A M] : NoZeroSMulDivisors R M
where
eq_zero_or_eq_zero_of_smul_eq_zero
hx := by
rw [← algebraMap_smul (A := A)] at hx
simpa only [map_eq_zero_iff _ <| FaithfulSMul.algebraMap_injective R A] using eq_zero_or_eq_zero_of_smul_eq_zero hx
