English
For a family of sets s(n) valued in a type α, the set-valued limsup of s equals the set of ω for which the associated weighted indicator sums converge to the top filter; in other words, limsup corresponds to the almost sure tail behavior of the indicator sums.
Русский
Для семейства множеств s(n), принимающих значения в типе α, множество limsup совпадает с множеством ω, для которых соответствующие взвешенные суммы индикаторов сходятся к верхнему пределу; то есть лимсуp отражает асимптотическое поведение индикаторов.
LaTeX
$$$\\operatorname{atTop}.\\mathrm{limsup} s = \\{\\omega\\;|\\; atTop.Tendsto (\\lambda n, \\sum_{k< n} (s(k)).indicator(\\lambda\\_, r) (\\omega)) atTop\\}$$$$
Lean4
theorem expect_eq_zero_iff_of_nonneg (hs : s.Nonempty) (hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) : 𝔼 i ∈ s, f i = 0 ↔ ∀ i ∈ s, f i = 0 :=
by simp [expect, sum_eq_zero_iff_of_nonneg hf, hs.ne_empty]
