expect_mul_sq_le_sq_mul_sq — Mathlib

English

If f is submultiplicative and p is a predicate preserved under multiplication, then the expectation over a finite nonempty set is bounded by the product of the expectations of f on each element.

Русский

Если f субумножаемая и pred сохраняется при умножении, тогда ожидание конечного множества ограничено произведением ожиданий отдельных элементов.

LaTeX

$$$\\text{¬contradictory}$$$

Lean4

/-- **Cauchy-Schwarz inequality** in terms of `Finset.expect`. -/
theorem expect_mul_sq_le_sq_mul_sq (s : Finset ι) (f g : ι → R) :
    (𝔼 i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (𝔼 i ∈ s, f i ^ 2) * 𝔼 i ∈ s, g i ^ 2 :=
  by
  simp only [expect, smul_pow, inv_pow, smul_mul_smul_comm, ← sq]
  gcongr
  exact sum_mul_sq_le_sq_mul_sq ..

Похожие утверждения